Permutasi Dan Kombinasi Serta Pola Soal Dan Penerapannya
Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya - Dalam kehidupan sehari-hari kita kadang dihadapkan dengan persoalan untuk menentukan banyak cara pemilihan beberapa objek, menentukan banyak susunan kepanitiaan, dan sebagainya. Misalnya, berapa banyak cara menentukan beberapa siswa dari sekelompok siswa sebagai pengurus kelas, berapa banyak cara menentukan beberapa kelereng dari kantong yang berisi kelereng warna-warni, dan masih banyak lagi kasus yang lain. Beda kasus akan berbeda pula penyelesaiannya. Mari kita pelajari bersama .
Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
b. Jika Felix, Meilvi, dan Valen duduk berdampingan, mereka bertiga dianggap 1 unsur dalam susunan siklis, maka jumlah unsur dalam susunan siklis menjadi 8 unsur. Sehingga, banyak susunan posisi duduknya adalah:
Sekian pembahasan kali ini dengan topik Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya. Asahlah kemampuanmu secara terus menerus untuk mencapai hasil berguru yang maksimal. Salam Matematika !!
Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya
Untuk membantu dalam mendiagnosis apakah soal tersebut diselesaikan dengan permutasi atau kombinasi, berikut yakni salah satu tipsnya.
Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menuntaskan soal-soal:
a. Jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut mempunyai status, maka soal diselesaikan dengan permutasi;
b. Jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak mempunyai status, maka soal diselesaikan dengan kombinasi.
Sebelum kita menerapkan konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam permasalahan nyata, mari kita mengingat kembali perihal permutasi dan kombinasi yang sudah kita pelajari di bab sebelumnya.
1. Permutasi
Permutasi yakni banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut. Berikut yakni beberapa jenis permutasi.
a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n disebut permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia sanggup dinotasikan:
b. Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama
Banyak permutasi n unsur yang memuat k1 unsur yang sama, k2 unsur yang sama, k3 unsur yang sama, dan seterusnya sampai kn unsur yang sama dengan k1 + k2 + k3 + … + kn = n, sanggup ditentukan dengan rumus berikut:
c. Permutasi siklis
Permutasi siklis merupakan permutasi melingkar. Jika ada n unsur yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklis (melingkar), maka banyak susunan yang terjadi yakni (n – 1 ) !. Sehingga banyak permutasi siklis dari n unsur sanggup dirumuskan: 2. Kombinasi
Kombinasi yakni banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutan. Berikut yakni beberapa jenis kombinasi.
a. Kombinasi dari unsur-unsur yang berbeda
Penyusunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, diperoleh:Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
b. Kombinasi yang memuat beberapa unsur yang sama
Misalkan terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qe. Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, ... dan unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + … + ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, ... dan ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k. Banyak cara pengambilan (kombinasi k1, k2, k3, …, ke unsur dari n1, n2, n3, …, ne unsur ) adalah:
Berikut yakni beberapa permasalahan positif yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi beserta penyelesaiannya.
1. Dalam suatu pemilihan pengurus kelas akan dipilih seorang ketua kelas, seorang wakil ketua kelas, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Pada pemilihan tersedia calon sebanyak 6 orang dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk menduduki salah satu jabatan tersebut. Berapa banyak susunan pengurus kelas yang sanggup dibentuk?
Penyelesaian:
Objek mempunyai status yaitu sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Sehingga permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai konsep permutasi. Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang sanggup terbentuk yakni 360 cara.
2. Dari 15 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 4 orang sebagai petugas ronda. Tentukan banyak susunan petugas ronda yang sanggup dibentuk.
Penyelesaian.
Objek tidak mempunyai status atau jikalau urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai konsep kombinasi. Jadi, banyak susunan petugas ronda yang sanggup dibuat yakni 1.365 cara.
3. Pada sebuah tes, seorang akseptor hanya diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal yang diberikan. Tentukan banyak susunan soal yang mungkin dikerjakan.
Penyelesaian.
Objek tidak mempunyai status atau jikalau urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai konsep kombinasi. Jadi, ada 45 susunan soal yang mungkin dikerjakan.
4. Dari suatu kotak terdapat 12 bola yang terdiri atas 6 bola warna putih, 4 bola warna hijau, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 3 bola sekaligus dari kotak tersebut, tentukan banyak cara untuk mendapat bola berwarna putih paling sedikit dua bola.
Penyelesaian.
Objek tidak mempunyai status atau jikalau urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai konsep kombinasi.
Pengambilan paling sedikit 2 bola putih mempunyai beberapa kemungkinan, yaitu:
Jadi, banyak cara untuk mendapat paling sedikit 2 bola putih yakni 60 + 30 + 20 = 110 cara.
5. Suatu pertemuan diikuti oleh 9 akseptor yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Felix, Meilvi, dan Valen ikut dalam pertemuan itu. Tentukan banyak susunan kawasan duduk yang terjadi:
a. Jika semua akseptor bebas menentukan kawasan duduk.
b. Felix, Meilvi, dan Valen duduk berdampingan.
c. Felix, Meilvi, dan Valen dihentikan ketiganya duduk berdampingan.
Penyelesaian.
Jika urutan objek dibalik, maka nilai akan berbeda. Sehingga, permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai konsep permutasi, lebih tepatnya permutasi siklis.
a. Jika semua akseptor bebas menentukan kawasan duduk, maka banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah: Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin yakni 40.320 cara.
Namun Felix, Meilvi, dan Valen sanggup bertukar kawasan sebanyak 3! = 6.
Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin yakni 5.040 × 6 = 30.240.
c. Banyak posisi duduk jikalau Felix, Meilvi, dan Valen dihentikan bertiganya duduk berdampingan = banyak posisi duduk semua akseptor – banyak posisi duduk mereka bertiga duduk berdampingan.
Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin yakni 40.320 - 30.240 = 10.080.Sekian pembahasan kali ini dengan topik Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya. Asahlah kemampuanmu secara terus menerus untuk mencapai hasil berguru yang maksimal. Salam Matematika !!