Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika – sebuah persembahan dari Partner StudiMatematika untuk anda para pembelajar. Selamat menyimak.
Barisan Aritmatika
Dalam kehidupan sehari-hari, berbagai dijumpai kelompok-kelompok yang berpola. Sebagai contoh, penataan bangku di sebuah bioskop disusun dengan setiap baris memiliki jumlah bangku yang berbeda-beda, semakin ke depan jumlah bangku dalam setiap baris semakin bertambah.
Jika terurut barisan pertama dari paling belakang sebanyak 5 kursi, barisan kedua 8 kursi, barisan ketiga 11 kursi, barisan keempat 14 bangku dan seterusnya, dapatkah kita memilih banyak bangku di barisan-barisan berikutnya? Berapakah banyak bangku pada berisan ke-20? Tentu kita bisa menentukannya dengan mudah, hingga dengan memilih banyak barisan ke-n dari susunan bangku tersebut.
Penyelesaian:
1. Kita sanggup menemukan pola dari barisan bangku tersebut dengan dukungan tabel 1 berikut:
Tabel 1
Baris ke- | Banyak Kursi | Pola |
B1 | 5 | 2 + 3×1 = 5 |
B2 | 8 | 2 + 3×2 = 8 |
B3 | 11 | 2 + 3×3 = 11 |
B4 | 14 | 2 + 3×4 = 14 |
.... | .... | .... |
Bn | 2 + 3n |
Dengan pola barisan bilangan ibarat di atas kita sanggup memilih banyak bangku pada barisan berikutnya yaitu B5 = 2 + 3.5 = 17, B6 = 2 + 3.6 = 20, dan seterusnya. Kemudian banyak bangku pada barisan ke-20 juga sanggup ditentukan dengan B20 = 2 + 3.20 = 62 kursi.
2. Apakah ada pola yang lain pada barisan tersebut? Silahkan amati kembali tabel 2 berikut!
Tabel 2
Baris ke- | Banyak Kursi | Pola |
B1 | 5 | 5 + 3.0 = 5 + 3(1 – 1) = 5 |
B2 | 8 | 5 + 3.1 = 5 + 3(2 – 1)= 8 |
B3 | 11 | 5 + 3.2 = 5 + 3(3 – 1) = 11 |
B4 | 14 | 5 + 3.3 = 5 + 3(4 – 1)= 14 |
.... | .... | .... |
Bn | 5 + 3(n -1) |
Dengan pola barisan bilangan ibarat dalam tabel 2 kita sanggup memilih banyak bangku pada barisan berikutnya yaitu B5 = 5 + 3(5-1) = 117, B6 = 5 + 3(6-1) = 20, dan seterusnya. Kemudian banyak bangku pada barisan ke-20 juga sanggup ditentukan dengan B20 = 5 + 3(20-1) = 62 kursi.
Selain rujukan pada susunan bangku tersebut, masih banyak terdapat fenomena yang berkaitan, contohnya jikalau kita pergi ke pasar sering kita jumpai para pedagang jeruk yang menyusun buah jeruknya membentuk sebuah piramida untuk menarik konsumennya. Tentunya banyak buah jeruk pada baris paling bawah yakni paling banyak, dan semakin ke atas semakin sedikit.
Susunan jeruk tersebut terlihat kokoh dan rapi, coba tentukan banyak jeruk pada 3 barisan berikutnya. Tentukan juka banyak jeruk pada barisan ke-30 !
Menemukan Pola Barisan Aritmetika
Pada susunan buah jeruk yang diberikan di atas, banyaknya bulatan yang tersusun sanggup dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. ternyata diperoleh selisih antara bilangan pertama dengan bilangan kedua, bilangan kedua dengan bilangan ketiga, bilangan ketiga dengan bilangan keempat dan seterusnya, ibarat yang disajikan pada Gambar berikut.
Selisih setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... yakni tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut “Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.
Masalah !
Seorang pengusaha sepatu Malangan bisa menjual sepatunya pada bulan pertama sebanyak 7 pasang. Sepatu yang dijual oleh pengusaha tersebut menerima kepercayaan dari para siswa Sekolah Menengan Atas di Malang, sehingga pada bulan kedua sepatu yang terjual sebanyak 10 pasang, bulan ketiga 13 pasang, dan bulan keempat 16 pasang. Dia menduga banyak sepatu yang terjual pada bulan berikutnya akan menjadi 3 lebih banyak dari penjualan bulan sebelumnya. Dengan pola tersebut, berpakah banyak sepatu yang harus disiapkan untuk dijual pada bulan ke-25?
Bulan ke- | Banyak Kursi | Pola |
u1 | 5 | 5 + 3.0 = 5 + 3(1 – 1) = 5 |
u2 | 8 | 5 + 3.1 = 5 + 3(2 – 1)= 8 |
u3 | 11 | 5 + 3.2 = 5 + 3(3 – 1) = 11 |
u4 | 14 | 5 + 3.3 = 5 + 3(4 – 1)= 14 |
.... | .... | .... |
un | 5 + 3(n -1) |
Bulan ke-1 : u1 = a = 6 maka u1 = 6 + (1 – 1)3
Bulan ke-2 : u2 = 6 + 3 = 6 + 1.3 = 9 maka u2 = 6 + (2 – 1)3
Bulan ke-3 : u3 = 6 + 3 + 3 = 6 +2.3 = 12 maka u3 = 6 + (3 – 1)3
Bulan ke-4 : u4 = 6 + 3 + 3 + 3 = 6 + 3.3 = 15 maka u4 = 6 + (4 – 1)3
...
Bulan ke-n : un = 6 + (n – 1)3 maka un = 6 + (n – 1)3
Berdasarkan pengamatan di atas,
penjualan sepatu pada bulan ke-n : un = 6 + (n – 1).3 (n merupakan bilangan asli).
Sesuai dengan pola di atas, sanggup diduga bahwa penjualan sepatu pada bulan ke-25 yakni u25 = 6 + (25 – 1).3 = 6 + 72 = 78. Sehingga pengusaha tersebut sanggup menyiapkan 78 pasang sepatu pada bulan ke-25.
ü Barisan aritmetika yakni barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan yakni sama.
ü Beda, disimbolkan dengan “b” . Beda dari suatu barisan aritmetika u1, u2, u3, u4, u5, …, un-1, un memenuhi pola berikut
b = u2 – u1= u3– u2= u4 – u3 = ... = un – u(n–1)
ü u yakni bilangan orisinil sebagai nomor suku, un yakni suku ke-n, dan n merupakan anggota bilangan asli.
ü Jika suku pertama (u1) dari barisan aritmetika dinyatakan dengan ”a” dan beda antara dua bilangan berdekatan di notasikan dengan“b”, maka pola susunan bilangan 5, 8, 11, 14,…, sanggup dijabarkan sebagai:
u1 = a
u2 = a + b
u3 = a + b + b = a + 2b
u4 = a + 2b + b = a + 3b
....
Un = a + (n – 1)b
ü Jika u1, u2, u3, u4, u5, …, un-1, un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Rumus suku ke-n dari barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.
un = a + (n – 1)b
Contoh:
Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, ..., 99
a. Tentukan rumus suku ke - n
b. Banyaknya suku dari barisan tersebut
Penyelesaian :
Barisan bilangan: 1, 3, 5, 7, ..., 99
a. a = 1
b = 2
Un= a+(n-1)b
= 1+(n-1)2
= 1+2n-2
= 2n-1
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un =2n-1
b. Diketahui suku ke-n = 99, berarti
Un = 2n-1
99 = 2n-1
99+1 = 2n
100 = 2n
100:2 = n
50 = n
Jadi banyaknya suku pada barisan tersebut yakni 50.
Demikianlah pembahasan tentang Barisan Aritmatika dari kami. Semoga anda terbantu dengan penyajian kami. Salam Matematika ....!!