Pembahasan Matematika Dasar No. 51 - 55 Tkpa Sbmptn 2017 Arahan Naskah 226

Pembahasan soal Matematika Dasar Tes Kemampuan Potensi Akademik (TKPA) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 instruksi naskah 226 nomor 51 hingga dengan nomor 55 tentang:

• barisan dan deret aritmetika, 
• aplikasi turunan, 
• barisan dan deret geometri, 
• fungsi komposisi, dan 
• dimensi tiga.

Soal No. 51 perihal Barisan dan Deret Aritmetika

Suku ke-11 suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut ialah −3 maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke- ….

A.   1
B.   3
C.   5
D.   7
D.   9

Pembahasan

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika dinyatakan:

U_n = a + (n − 1)b

Suku ke-11 sama dengan empat kali suku ke-16.

      U₁₁ = 4U₁₆
a + 10b = 4(a + 15b)

Dengan b = −3 diperoleh:

a − 30 = 4(a − 45)
a − 30 = 4a − 180
    150 = 3a
        a = 50

Empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-n.

         4U₁₄ = U_n
4(a + 13b) = a + (n − 1)b

Substitusi a = 50 dan b = −2 diperoleh:

4(50 − 39) = 50 + (n − 1)(−3)
        4 ∙ 11 = 50 − 3n + 3
             44 = −3n + 53
             3n = 9
               n = 3

Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3 (B).

Soal No. 52 perihal Aplikasi Turunan

Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada dikala panen dari bak tersebut ialah (6 − 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada dikala panen yang mungkin ialah … kg.

A.   400
B.   420
C.   435
D.   450
E.   465

Pembahasan

Rata-rata bobot ikan per ekor pada dikala panen:

6 − 0,02x

Total bobot semua ikan pada dikala panen:

B(x) = (6 − 0,02x)x
        = 6x − 0,02x²

Agar nilai B(x) maksimum maka turunan pertama dari fungsi B(x) harus sama dengan nol.

       B(x)' = 0
6 − 0,04x = 0
             6 = 0,04x
             x = 150

Dengan demikian, fungsi B(x) mencapai maksimum pada dikala x = 150.

    B(x) = 6x − 0,02x²
B(150) = 6 ∙ 150 − 0,02 ∙ 150²
            = 900 − 450
            = 450

Jadi, total bobot maksimum semua ikan pada dikala panen yang mungkin ialah 450 kg (D).

Soal No. 53 perihal Barisan dan Deret Geometri

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama barisan geometri ialah 1/32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 ialah 15 maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut ialah ….

A.   30
B.   40
C.   50
D.   60
E.   70

Pembahasan

Suku ke-n barisan geometri dinyatakan sebagai:

U_n = arⁿ⁻¹

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama barisan geometri ialah 1/32.

Jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 ialah 15.

 U₃ + U₄ = 15
ar² + ar³ = 15

Substitusi r = 1/2 diperoleh:

Karena yang ditanyakan jumlah 3 suku pertama, lebih yummy dihitung pribadi (tanpa rumus S_n).

S₃ = a + ar + ar²
     = 40 + 20 + 10
     = 70

Jadi, jumlah 3 suku pertama barisan tersebut ialah 70 (B).

Soal No. 54 perihal Fungsi Komposisi

Jika f(x) = 1 − x² dan g(x) = √(5 − x) maka tempat hasil fungsi komposisi f ∘ g ialah ….

A.   {y│−∞ < y < ∞}
B.   {y│y ≤ −1 atau y ≥ 1}
C.   {y│y ≤ 5}
D.   {y│y ≤ 1}
E.   {y│−1 ≤ y ≤ 1}

Pembahasan

Daerah hasil atau range suatu fungsi ialah nilai fungsi tersebut (nilai y) untuk x yang memenuhi.

Untuk memilih tempat hasil fungsi komposisi f ∘ g, kita harus memilih dulu nilai x yang memenuhi pada fungsi f dan g sebelum dikomposisikan.

• Fungsi f(x) = 1 − x² memenuhi untuk semua nilai x.
• Fungsi g(x) = √(5 − x) memenuhi kalau nilai yang terdapat dalam akar lebih besar atau sama dengan nol

5 − x ≥ 0
    −x ≥ −5
      x ≤ 5 … (1)
Ini ialah domain atau tempat asal fungsi g yang juga merupakan domain dari fungsi komposisi f ∘ g.

Selanjutnya kita tentukan fungsi komposisinya dengan berpatokan pada fungsi f.

 f(x) = 1 − x²
f ∘ g = 1 − [g(x)]²
        = 1 − [√(5 − x)]²
        = 1 − (5 − x)
        = 1 − 5 + x
        = x − 4

Misalkan tempat hasil fungsi komposisi tersebut ialah y, maka:

y = x − 4 … (2)

Nah, kini kita gantikan x pada persamaan (2) dengan x pada persamaan (1).

y ≤ 5 − 4
y ≤ 1

Jadi, tempat hasil fungsi komposisi f ∘ g ialah {y│y ≤ 1} (D).

Soal No. 55 perihal Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut ialah titik tengah HG dan BC.

Jika panjang rusuk kubus tersebut ialah 4 cm maka jarak P ke Q ialah … cm.

A.   2√3
B.   2√6
C.   6√2
D.   6√3
E.   6√6

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini!

Lintasan terdekat dari titik P menuju Q adalah:

PG – GC – CQ [lintasan biru]

Dengan demikian, panjang PQ adalah:

PQ = √(PG² + GC² + CQ²)
      = √(2² + 4² + 2²)
      = √24
      = 2√6

Jadi, jarak titik P ke titik Q ialah 2√6 cm (B).

Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2017
Pembahasan Matematika Dasar No. 56 - 60 TKPA SBMPTN 2017

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, membuatkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Berbagi :