Deret Aritmatika, Deret Bilangan, Rumus Deret Aritmatika, Teladan Soal Deret Aritmatika, Deret Aritmatika Dan Bilangan Geometri, Arithmetic Progression.
Pengertian Deret Aritmetika (Deret Hitung).
Deret Bilangan.
Deret bilangan ialah penjumlahan dari suku – suku barisan bilangan.
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut
1, 3, 5, 7, 9, …
5, 10, 15, 20, …
2, 4, 8, 16, …
48, 40, 32, 24, …
Deret bilangan dari barisan bilangan tersebut adalah
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
5 + 10 + 15 + 20 + …
2 + 4 + 8 + 16 + …
48 + 40 + 32 + 24 + …
Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un
Barisan bilangan tersebut kalau dijumlahkan akan menjadi
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un
Bentuk menyerupai ini disebut deret bilangan .
Jadi, deret bilangan ialah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.
Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.
Deret aritmatika
Coba kau perhatikan barisan aritmetika berikut.
3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un
Jika kau jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un
Jadi, deret aritmetika ialah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.
Contoh Soal Deret Aritmatika.
Suatu barisan aritmetika mempunyai suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.
Jawab:
Barisan aritmetikanya ialah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un
Deret aritmetikanya ialah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un
Rumus Deret Aritmatika.
Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang mempunyai suku-suku deret yang sedikit mungkin masih gampang untuk menghitungnya.
Sebaliknya, kalau suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kau akan memerlukan waktu yang cukup usang untuk menghitungnya.
Berikut ini akan diuraikan cara memilih jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn ialah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka;
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku - suku deret aritmetika ialah sebagai berikut.
Oleh alasannya Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga sanggup ditulis sebagai berikut.
Macam - Macam Deret Bilangan.
Macam – macam deret bilangan yaitu :
1. Deret Bilangan Aritmatika.
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b ialah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika ialah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n ialah :
Sn = 1/2 n ( a+ Un ) atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Macam – macam deret bilangan yaitu :
1. Deret Bilangan Aritmatika.
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b ialah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika ialah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n ialah :
Sn = 1/2 n ( a+ Un ) atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Contoh soal deret bilangan aritmatika.
4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?
Penyelesaian :
Diketahui : a = 4 , b = 5
Un = a + ( n – 1 ) b
U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5
= 4 + 29.5
= 4 + 145
= 149
maka , S30 ialah :
Cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )
= 15 x 153
= 2295
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]
= 15 [ 8 + 29 .5 ]
= 15 ( 8 + 145 )
= 15 ( 153 )
= 2295
2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199
Penyelesaian :
Diketahui : a = 3 , b = 4
Ditanya :
a.) n = . . .
b.) Sn = . . .
Jawab :
a.) Un = a + ( n -1 ) b
199 = 3 + ( n – 1 ) 4
199 = 3 + 4n -4
199 = -1 + 4n
200 = 4n
50 = n
b.) cara 1
Sn = 1/2 n ( a+ Un )
S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )
= 25 ( 202 )
= 5050
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]
= 25 [ 6 + 49.4 ]
= 25 ( 6 + 196 )
= 25 ( 202 )
= 5050
3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :
1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1 , b = 4 , n = 10
Ditanya : Sn = . . . ?
Jawab :
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]
= 5 [ 2 + 9.4 ]
= 5 ( 2 + 36 )
= 190
4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :
a.) nilai a dan b
b.) U10
c.) S11
Penyelesaian ;
a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13
U9 = 21 —> a+ 8b = 21 _
-4 b = -8
b = 2
a + 4b = 13
a + 4.2 = 13
a + 8 = 13
a = 5
b.) U10 = a + 9b
U10 = 5 + 9 .2
u10 = 5 + 18 = 23
c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S11 = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]
S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]
S11 = 1/2.11 ( 30 )
S11 = 165
2. Deret Bilangan Geometri
Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .
Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5 . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , ialah :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 . . . .a.rn-1
rSn = a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5 + a.r6. . . .a.rn-1 + a.rn
Sn – rSn = a – a.rn
Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rn )
Sn = a – a rn / 1 – r
Sn = a ( 1 – rn ) / ( 1 – r )
Kaprikornus , sanggup kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri ialah :
Sn = a – a rn / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r , dengan r ≠ 1
Contoh soal deret bilangan geometri.
1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r
b.) S10
Penyelesaian :
a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486
U3 = 18 –> a.r2 = 18
U6 / U3 = 486 / 18 —–> a.r 5 / a.r2 = 486 / 18
r3 = 27
r = 3
a.r2 = 18
a.32 = 18
a.9 = 18
a = 2
b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )
S10 = 2 ( -59048 ) / ( -2 )
S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458 = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
36 = 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458 = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
36 = 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 37 ) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187
Contoh Soal Deret Aritmatika.
Contoh 1
Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut
Jawaban
B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)
= 10 (8 + 95)
= 10(103)
= 1030
Kaprikornus jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut ialah 1030.
Contoh 2
Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas kita harus menciptakan bentuk deret dari soal tersebut yaitu
51 + 53 + 55 + … + 149
Dari deret di atas kita sudah sanggup mengetahui
a = 51
b = 2
Un = 149
Setelah itu kita cari nilai n
Un = (a + (n-1)b)
149 = (51 + (n-1)2)
149 = (51 +(2n – 2))
149 = 2n + 49
2n = 149 – 49
2n = 100
n = 50
Karena nilai n sudah ketemu pribadi kita masukkan ke rumus Sn
Sn = n/2 (a + Un)
S50= 50/2 (51 + 149)
= 25 (200)
= 5000
Kaprikornus jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 hingga dengan 150 ialah 5000
Contoh 3
Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut
Jawaban
Un = Sn – Sn-1
U16 = S16 – S15
= 528 – 465
= 63
Kaprikornus suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas ialah 63
Contoh 1
Sebuah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + … , tentukan jumlah 20 suku pertama deret tersebut
Jawaban
B = U2 – U1 = 9 – 4 = 5
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S20 = 20/2 (2(4) + (20-1)5)
= 10 (8 + 95)
= 10(103)
= 1030
Kaprikornus jumlah dari 20 suku pertama deret tersebut ialah 1030.
Contoh 2
Tentukan jumlah seluruh bilangan ganjil antara 50 dan 150
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas kita harus menciptakan bentuk deret dari soal tersebut yaitu
51 + 53 + 55 + … + 149
Dari deret di atas kita sudah sanggup mengetahui
a = 51
b = 2
Un = 149
Setelah itu kita cari nilai n
Un = (a + (n-1)b)
149 = (51 + (n-1)2)
149 = (51 +(2n – 2))
149 = 2n + 49
2n = 149 – 49
2n = 100
n = 50
Karena nilai n sudah ketemu pribadi kita masukkan ke rumus Sn
Sn = n/2 (a + Un)
S50= 50/2 (51 + 149)
= 25 (200)
= 5000
Kaprikornus jumlah dari bilangan ganjil yang terletak di antara 50 hingga dengan 150 ialah 5000
Contoh 3
Suatu deret aritmatika dengan S15 = 465 dan S16 = 528. Tentukan U16 dari barisan aritmatika tersebut
Jawaban
Un = Sn – Sn-1
U16 = S16 – S15
= 528 – 465
= 63
Kaprikornus suku ke-16 dari barisan aritmatika di atas ialah 63