Pembahasan Matematika No. 11 - 15 Tkd Saintek Sbmptn 2018 Arahan Naskah 466
Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2018 Kode Naskah 466 nomor 11 hingga dengan nomor 15 tentang:
- integral,
- barisan dan deret,
- pertidaksamaan trigonometri,
- fungsi eksponen, serta
- garis singgung lingkaran.
Soal No. 11 ihwal Integral
Nilai
ialah ….
A. 19
B. 38
C. 57
D. 76
E. 95
ialah ….
A. 19
B. 38
C. 57
D. 76
E. 95
Pembahasan
Bentuk integral di atas ialah integral substitusi. Cirinya, terdiri dari dua fungsi yang mana bila salah satu fungsi diturunkan akan menghabiskan fungsi yang lain.Perhatikan bentuk integral berikut!
Fungsi pertama ialah fungsi pangkat −2 sedangkan fungsi yang kedua ialah fungsi pangkat −1. Jika fungsi pangkat −1 diturunkan akan menghabiskan fungsi pangkat −1.
Mari kita kerjakan pelan-pelan!
Integral di atas bentuknya sama dengan integral berikut:
−3∫ a1/2 da = −3 ∙ 2/3 ∙ a3/2 + C
Ok, mari kita lanjutkan!
Jadi, nilai dari integral di atas ialah 38 (B).
Soal No. 12 ihwal Barisan dan Deret
Diketahui (an) dan (bn) ialah dua barisan aritmetika dengan a1 = 5, a2 = 8, b1 = 3, dan b2 = 7 Jika A = {a1, a2, ⋯, a100} dan B = {b1, b2, ⋯, b100} maka banyaknya anggota A∩B ialah ….
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
E. 24
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
E. 24
Pembahasan
Kita tentukan dulu anggota himpunan A dan B. Himpunan A ialah barisan aritmetika dengan suku awal 5 dan beda 3. Suku ke-100 adalah:an = a1 + (n − 1)b
a100 = 5 + 99 ∙ 3
= 302
Sehingga himpunan A adalah:
A = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, 302}
Sedangkan anggota himpunan B barisan aritmetika dengan suku awal 3 dan beda 4. Suku ke-100 adalah:
bn = b1 + (n − 1)b
b100 = 3 + 99∙4
= 399
Sehingga himpunan B adalah:
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …, 399}
Dengan demikian irisan himpunan A dan B adalah:
A∩B = {11, 23, …}
Anggota irisan himpunan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 11 dan beda 12. Suku terakhirnya niscaya kurang dari 302 (bukan 399). Sehingga banyaknya suku adalah:
Un < 302
a + (n − 1)b < 302
11 + (n − 1) ∙ 12 < 302
11 + 12n − 12 < 302
12n < 303
n < 303/12
n < 25,25
Karena n ialah bilangan orisinil maka n = 25.
Jadi, banyaknya anggota A∩B ialah 25 (-).
Soal No. 13 ihwal Pertidaksamaan Trigonometri
Himpunan semua bilangan real x pada selang [π, 2π] yang memenuhi 2 cos(π/2 − x) cosx ≥ 1 − cos 2x berbentuk [a, b]. Nilai a + b ialah ….
A. 9π/4
B. 3π
C. 13π/4
D. 14π/4
E. 15π/4
A. 9π/4
B. 3π
C. 13π/4
D. 14π/4
E. 15π/4
Pembahasan
Modal utama untuk menuntaskan soal di atas ialah mengingat kembali dua rumus berikut:cos(90° − x) = sin x
cos 2x = 1 − 2 sin2 x ⇔ 1 − cos 2x = 2 sin2 x
Nah, mari kita selesaikan soal di atas!
2 cos(π/2 − x) cosx ≥ 1 − cos 2x
2 sin x cos x ≥ 2 sin2 x
2 sin2 x − 2 sin x cos x ≤ 0
2 sin x (sin x − cos x) ≤ 0
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:
I. sin x = 0
x = 0°, 180°, 360° atau
x = 0, π, 2π
II. sin x − cos x = 0
sin x = cos x
sin x/cos x = 1
tan x = 1
x = 45°, 225° atau
x = π/4, 5π/4
Garis bilangan untuk pertidaksamaan tersebut adalah:
Yang memenuhi interval [π, 2π] ialah π ≤ x ≤ 5π/4 yang lazim dinotasikan dalam bentuk [π, 5π/4]. Dengan demikian diperoleh:
a = π
b = 5π/4
Sehingga
a + b = π + 5π/4
= 4π/4 + 5π/4
= 9π/4
Jadi, nilai a + b ialah 9π/4 (A).
Soal No. 14 ihwal Fungsi Eksponen
Diketahui f(x) = 2x2 + x − 12 dan g(x) = 42x − 7. Jika (a, b) ialah interval dengan grafik y = f(x) berada di bawah grafik y = g(x) maka nilai a2 + b2 ialah ….
A. 1
B. 5
C. 10
D. 13
E. 17
A. 1
B. 5
C. 10
D. 13
E. 17
Pembahasan
Grafik y = f(x) berada di bawah grafik y = g(x).f(x) < g(x)
2x2 + x − 12 < 42x − 7
2x2 + x − 12 < (22)2x − 7
x2 + x − 12 < 4x − 14
x2 − 3x + 2 < 0
(x − 1)(x − 2) < 0
Pembuat nol pertidaksamaannya adalah:
x = 1 atau x = 2
Karena tanda pertidaksamaannya “<” maka hasil dari pertidaksamaan tersebut berada di antara 1 dan 2.
1 < x < 2 atau (1, 2)
Sehingga diperoleh:
a = 1
b = 2
Dengan demikian:
a2 + b2 = 12 + 22
= 5
Jadi, nilai dari a2 + b2 ialah 5 (B).
Soal No. 15 ihwal Garis Singgung Lingkaran
Diketahui dua bulat x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung bulat pertama di titik (1, −1). Garis l2 menyinggung bulat kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dam l2 ialah ….
A. (1 + √2, √2 − 1)
B. (1 − √2, √2 − 1)
C. (1 + √2, √2 + 1)
D. (1 − √2, √2 − 2)
E. (1 + √2, √2 + 2)
A. (1 + √2, √2 − 1)
B. (1 − √2, √2 − 1)
C. (1 + √2, √2 + 1)
D. (1 − √2, √2 − 2)
E. (1 + √2, √2 + 2)
Pembahasan
Garis singgung bulat x2 + y2 = r2 di titik (x1, y1) dirumuskan:x1x + y1y = r2
Garis l1 ialah garis singgung bulat x2 + y2 = 2 di titik (1,−1). Persamaan garis l1 adalah:
1x + (−1)y = 2
x − y = 2
Gradien garis l1 adalah:
m1 = −a/b
= −1/(−1)
= 1
Garis l2 tegak lurus l1 sehingga perkalian gradiennya sama dengan −1.
m1 ∙ m2 = −1
1 ∙ m2 = −1
m2 = −1
Garis l2 merupakan garis singgung bulat x2 + y2 = 4 (jari-jari = 2).
y = m2x ± r√(m22 + 1)
y = −x ± 2√2
y + x = ±2√2
Berarti garis l2 ada dua, yaitu
y + x = +2√2 dan
y + x = −2√2
ambil yang kasatmata saja, bila tidak ada jawabannya gres kita gunakan yang negatif.
Sekarang kita tentukan titik potong antara garis l1 dan l2. Bisa dengan cara eliminasi atau substitusi. Eliminasi saja, ya!
l1 : x − y = 2
l2 : x + y = 2√2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ +
2x = 2 + 2√2
x = 1 + √2
l1 : x − y = 2
l2 : x + y = 2√2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
−2y = 2 − 2√2
y = −1 + √2
= √2 − 1
Dengan demikian titik potongnya adalah:
(1 + √2, √2 − 1)
Jadi, titik potong garis l1 dam l2 ialah (1 + √2, √2 − 1) (A).
Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2018 Kode Naskah 466
Pembahasan Fisika No. 16 - 20 TKD Saintek SBMPTN 2018 Kode Naskah 466
Simak juga:
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2014
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2015
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2016
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2017
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, membuatkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.