Pembahasan Matematika Ipa Un 2018 No. 26 - 30

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2018 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 hingga dengan nomor 30 tentang:

• dimensi tiga [sudut antargaris], 
• persamaan lingkaran, 
• garis singgung lingkaran, 
• transformasi geometri, dan 
• statistika [kurva ogive].

Soal No. 26 perihal Dimensi Tiga [sudut antargaris]

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk p cm. Sudut antara garis EG dan garis CF ialah ….

A.   15°
B.   30°
C.   45°
D.   60°
E.   75°

Pembahasan

Perhatikan berdiri kubus ABCD.EFGH berikut!

Garis EG dan garis CF tidak bertemu, untuk itu garis CF proyeksikan ke garis ED.

Pandang segitiga DEG!
DE ialah diagonal sisi. Demikian juga DG dan EG. Sehingga segitiga DEG ialah segitiga sama sisi.

Sama sisi berarti sama sudut. Tiap sudut segitiga sama sisi besarnya sama, yaitu:

180° ∶ 3 = 60°

Jadi, sudut antara garis EG dan garis CF ialah 60° (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga]

Soal No. 27 perihal Persamaan Lingkaran

Persamaan bundar yang berpusat di P(3, 2) dan melalui titik Q(7, 5) ialah ….

A.   x² + y² − 4y − 54 = 0
B.   x² + y² − 6x − 32 = 0
C.   x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0
D.   x² + y² − 6x − 4y − 12 = 0
E.   x² + y² + 6x − 4y − 12 = 0

Pembahasan

Persamaan bundar yang berpusat di P(3, 2) adalah:

(x − 3)² + (y − 2)² = r²

Persamaan bundar tersebut melalui titik Q(7, 5). Kita substitusikan titik Q untuk mendapat jari-jari r.

(7 − 3)² + (5 − 2)² = r²
                  4² + 3² = r²
                   16 + 9 = r²
                          r² = 25

Nah, kini kita kembali ke persamaan bundar dengan substitusi r² = 25.

(x − 3)² + (y − 2)² = r²
x² − 6x + 9 + y² − 4y + 4 = 25
x² + y² − 6x − 4y + 13 − 25 = 0
x² + y² − 6x − 4y − 12 = 0

Jadi, persamaan bundar yang berpusat di P(3, 2) dan melalui titik Q(7, 5) ialah opsi (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran

Soal No. 28 perihal Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada bundar x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 yang tegak lurus garis 5x + 12y − 12 = 0 ialah ….

A.   12x − 5y = 7 dan 12x − 5y = 85
B.   12x + 5y = 7 dan 12x + 5y = 85
C.   12x + 5y = 7 dan 12x − 5y = 85
D.   12x − 5y = 7 dan 12x + 5y = 85
E.   5x − 12y = 7 dan 5x + 12y = 85

Pembahasan

Bentuk umum bundar x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 adalah:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Dari bentuk umum tersebut diperoleh:

A = −6
B = 4
C = 4

Sehingga diperoleh:

Pusat bundar : (h, k) = (−½A, −½B)
                                     = (3, −2)

Jari-jari : r = √[¼ (A² + B²) − C]
                  = √[¼ (36 + 16) − 4]
                  = √9
                  = 3

Selanjutnya kita tentukan gradien. Gradien garis 5x + 12y − 12 = 0 adalah:

m₁ = −a/b
      = −5/12

Karena garis tersebut tegak dengan garis singgung bundar maka gradien garis singgung bundar adalah:

     m₁ ∙ m₂ = −1
−5/12 ∙ m₂ = −1
             m₂ = 12/5

Dengan demikian, persamaan garis singgung bundar adalah:

      y − k = m₂ (x − h) ± r √(m₂² + 1)
      y + 2 = 12/5 (x − 3) ± 3√(144/25 + 1)
      y + 2 = 12/5 (x − 3) ± 3 ∙ 13/5
  5y + 10 = 12(x − 3) ± 39       [dikalikan 5]
  5y + 10 = 12x − 36 ± 39
12x − 5y = 46 ∓ 39

Persamaan terakhir ini dapat kita uraian menjadi dua:

I.   12x − 5y = 46 − 39
      12x − 5y = 7

II.  12x − 5y = 46 + 39
      12x − 5y = 85

Jadi, persamaan garis singgung pada bundar tersebut ialah opsi (A).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran

Soal No. 29 perihal Transformasi Geometri

Suatu segitiga KLM dengan titik K(4, 3), L(−1, 2), dan M(3, 5) dirotasikan sejauh 180° dengan sentra rotasi (2, 2). Bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut ialah ….

A.   (−4, −3), (1, −2), (−3, −5)
B.   (−3, −4), (−2, 1), (−5, −3)
C.   (3, 4), (2, −1), (5, 3)
D.   (0, 1), (5, 2), (1, −1)
E.   (1, −1), (2, −5), (−1, 1)

Pembahasan

Matriks rotasi 180° adalah:

Bayangan titik oleh rotasi 180° dengan sentra rotasi (2, 2) adalah:

Dengan demikian,

(4, 3) → (−4 + 4, −3 + 4)
          → (0, 1)

(−1, 2) → (1 + 4, −2 + 4)
            → (5, 2)

(3, 5) → (−3 + 4, −5 + 4)
          → (1, −1)

Jadi, bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut ialah opsi (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri

Soal No. 30 perihal Statistika [grafik ogive]

Perhatikan histogram berikut!

Grafik ogive faktual yang sesuai dengan diagram tersebut ialah …

Pembahasan

Grafik ogive ialah grafik yang dibentuk menurut tabel distribusi kumulatif, baik kurang dari maupun lebih dari.

Grafik ogive faktual dibentuk menurut frekuensi kumulatif kurang dari dengan batas tepi atas.

Jadi, grafik ogive faktual yang sesuai dengan diagram tersebut ialah opsi (B).

Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 21 - 25
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 31 - 36

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, menyebarkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Berbagi :