Pembahasan Matematika Ipa Un 2013 No. 16 - 20

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2013 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 hingga dengan nomor 20 tentang:

• sudut antara dua vektor, 
• proyeksi vektor, 
• transformasi geometri, 
• pertidaksamaan logaritma, dan 
• persamaan eksponen.

Soal No. 16 perihal Sudut antara Dua Vektor

Diketahui vektor-vektor

Nilai sinus sudut vektor u dan vektor v yakni ….

A.   −½
B.   0
C.   ½
D.   ½√2
E.   ½√3

Pembahasan

Kita tentukan dulu perkalian antara vektor u dan v serta panjang masing-masing vektor.

u ∙ v = 1 ∙ 1 + 0 ∙ (-1) + 1 ∙ 0
        = 1 + 0 + 0
        = 1

|u| = √(1² + 0² + 1²)
     = √2

|u| = √(1² + (−1)² + 0²)
     = √2

Sudut antara vektor u dan vektor v dirumuskan sebagai:

Dengan demikian,

sin⁡ θ = sin 60°
         = ½√3

Jadi, nilai sinus sudut vektor u dan vektor v yakni ½√3 (E).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Dua Vektor

Soal No. 17 perihal Proyeksi Vektor

Diketahui vektor a = −i − j + 2k dan b = i − j − 2k. Proyeksi vektor orthogonal a pada b yakni ….

A.   −1/3 i − 1/3 j + 2/3 k
B.   −1/3 i + 1/3 j + 2/3 k
C.   −2/3 i + 2/3 j − 4/3 k
D.   −2/3 i − 2/3 j + 4/3 k
E.   −2/3 i + 2/3 j + 4/3 k

Pembahasan

Perkalian vektor a dan b serta panjang vektor b adalah:

a ∙ b = −1 ∙ 1 + (−1) ∙ (−1) + 2 ∙ (−2)
        = −1 + 1 − 4
        = −4

|b| = √(1² + (−1)² + (−2)²)
     = √6

Misal vektor c yakni proyeksi vektor orthogonal a terhadap b, maka:

Jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b yakni −2/3 i + 2/3 j + 4/3 k (E).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Proyeksi Vektor

Soal No. 18 perihal Transformasi Geometri

Titik P(−3, 1) dipetakan oleh rotasi dengan sentra O sejauh 90° dilanjutkan dengan translasi . Peta titik P yakni ….

A.   P”(2, 1)
B.   P”(0, 3)
C.   P”(2, 7)
D.   P”(4, 7)
E.   P”(4, 1)

Pembahasan

Matriks transformasi untuk rotasi 90° adalah:

Bayangan titik P(−3,1) oleh transformasi R adalah:

Dengan demikian, bayangannya yakni P’(−1, −3). Selanjutnya titik P’ ini mengalami translasi T.

Jadi, peta titik P yakni P"(2, 1) (A).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri

Soal No. 19 perihal Pertidaksamaan Logaritma

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
²log⁡(x + 2) + ²log⁡(x − 2) ≤ ²log⁡5 yakni ….

A.   {x│x ≥ −2}
B.   {x│x ≥ 2}
C.   {x│x ≥ 3}
D.   {x│2 < x ≤ 3}
E.   {x│−2 < x < 2}

Pembahasan

Rumus yang harus diingat adalah:

• log⁡ a + log ⁡b = log ⁡ab
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• Jika ^alog⁡ f(x) ≤ ^alog⁡ g(x) maka f(x) ≤ g(x), untuk a > 1

Ok, mari kita selesaikan!

²log⁡(x + 2) + ²log⁡(x − 2) ≤ ²log⁡5
              ²log⁡(x + 2)(x − 2) ≤ ²log⁡5
                         ²log⁡(x² − 4) ≤ ²log⁡5

Karena bilangan pokok lebih dari 1 (a = 2) maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.

x² − 4 ≤ 5
x² − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0

Pembuat nol x = −3, x = 3, dan tanda pertidaksamaannya “≤” sehingga intervalnya berada di antara pembuat nol.

−3 ≤ x ≤ 3

Jangan lupa syarat logaritma! Fungsi yang di-log harus positif.

x + 2 > 0
      x > −2

x − 2 > 0
      x > 2

Selanjutnya kita buat garis bilangan untuk ketiga pertidaksamaan di atas.

Himpunan penyelesaiannya yakni tempat yang diarsir.

2 < x ≤ 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma di atas yakni {x│2 < x ≤ 3} (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Soal No. 20 perihal Persamaan Eksponen

Persamaan grafik fungsi menyerupai pada gambar berikut yakni ….

A.   y = 2^{½x − 1}
B.   y = 2^{−½x − 1)}
C.   y = 2^{x − 2}
D.   y = 2^{x + 2}
E.   y = 2^{2x − 1}

Pembahasan

Cara yang efektif untuk menuntaskan soal di atas yakni dengan cara substitusi eksklusif ke opsi jawaban.

Pada grafik di atas, kurva melalui titik (2, 1) dan (4, 2). Artinya, bila kita substitusi x = 2 maka harus menghasilkan y = 1. Demikian juga bila kita substitusi x = 4 maka akan menghasilkan y = 2.

Mari kita mulai dari opsi A!

              y = 2^{½x − 1}
x = 2 → y = 2^{½∙2 − 1}
                 = 2⁰
                 = 1 [benar]

x = 4 → y = 2^{½∙4 − 1}
                 = 2¹
                 = 2 [benar]

Ternyata jawabannya yakni A. Tumben ya, biasanya soal menyerupai ini jawabannya ditaruh di D atau E.

Jadi, persamaan grafik fungsi eksponen di atas yakni y = 2^{½x − 1} (A).

Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 11 - 15
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 21 - 25

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, menyebarkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Berbagi :